Pythagore et Thalès sont les deux vedettes de la géométrie au brevet. Encore faut-il savoir lequel utiliser, et dans quel sens : théorème ou réciproque ? Dans cette vidéo, Bruno Colas, professeur de mathématiques, résout un problème de géométrie plane classique qui les fait travailler tous les deux, avec un calcul d’aire au passage. Voici comment choisir le bon outil pour chaque question, et ce que la vidéo t’apporte en plus.
Ce qu’il faut retenir
- Pour prouver qu’un triangle est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore ; pour calculer une longueur dans un triangle déjà rectangle, le théorème de Pythagore lui-même.
- Pour étudier le parallélisme de deux droites, on compare deux quotients de longueurs dans une configuration de Thalès, avec le produit en croix.
- Chaque réponse cite le théorème utilisé, rappelle les hypothèses (triangle rectangle, points alignés) et se termine par une phrase de conclusion.
À l’épreuve : Ce problème relève de la partie 2 de l’épreuve de mathématiques, « raisonnement et résolution de problèmes » (14 points sur 20, 1 h 40, calculatrice autorisée), où chaque réponse doit être justifiée : en géométrie, cela veut dire nommer le théorème utilisé. Le détail de l’épreuve est dans notre guide du brevet 2027.
Le sujet : une figure, cinq longueurs
La figure compte cinq points, A, B, C, D et E. Le point C est l’intersection des droites (AD) et (BE) : les deux triangles ABC et CDE sont donc opposés par le sommet C, dans la configuration dite « en papillon ». L’énoncé donne cinq longueurs, en centimètres : AB = 17, AC = 8, BC = 15, DE = 13 et CE = 12.
Les questions s’enchaînent : démontrer que ABC est rectangle, calculer son aire, calculer le périmètre du triangle CDE, puis dire si les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Un vrai tour d’horizon de la géométrie plane de 3e, avec le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès au premier plan.
| Ce qu’on te demande | L’outil à utiliser |
|---|---|
| Montrer qu’un triangle est rectangle | Réciproque du théorème de Pythagore |
| Calculer une longueur dans un triangle rectangle | Théorème de Pythagore |
| Montrer que deux droites sont parallèles | Réciproque du théorème de Thalès |
| Montrer que deux droites ne sont pas parallèles | Théorème de Thalès (par sa contraposée) |
Prouver qu’un triangle est rectangle : la réciproque de Pythagore
Pour le triangle ABC, tu connais les trois côtés. C’est le signal : pense à la réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.
Le plus grand côté est [AB]. On calcule séparément les deux membres :
- AB² = 17² = 289 ;
- AC² + BC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
L’égalité est vérifiée : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en C. Calcule toujours les deux membres séparément avant de conclure, sans écrire l’égalité d’emblée.
Pour l’aire, souviens-toi que dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur : aire = (AC × BC) / 2 = (8 × 15) / 2 = 60 cm². Dans la vidéo, Bruno te donne la phrase de réponse type pour chacune de ces questions.
Trouver une longueur manquante avec Pythagore
Pour le périmètre du triangle CDE, il manque la longueur CD. Avant d’utiliser le théorème de Pythagore, il faut justifier que CDE est rectangle.
L’argument : les angles ACB et DCE sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure. Comme ACB est droit, DCE l’est aussi : CDE est rectangle en C, et son hypoténuse est [DE].
On peut alors écrire le théorème de Pythagore : DE² = DC² + CE², soit 13² = DC² + 12². Il reste à isoler DC², à prendre la racine carrée, puis à additionner les trois côtés. Bruno détaille ce calcul dans la vidéo et te montre comment isoler l’inconnue sans erreur de signe.
Parallèles ou non ? Le théorème de Thalès
Dernière question : les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? Les droites (AD) et (BE) se coupent en C, avec D sur (AC) et E sur (BC) : c’est une configuration de Thalès. Rappelle ces informations dans ta rédaction.
La méthode
- écrire les deux quotients à comparer, en mettant les côtés du même triangle au numérateur : CE / CB et CD / CA ;
- les comparer avec le produit en croix : si CE × CA = CD × CB, les quotients sont égaux ;
- conclure : s’ils sont égaux (et les points alignés dans le même ordre), la réciproque du théorème de Thalès prouve que les droites sont parallèles ; s’ils sont différents, elles ne le sont pas, car si elles l’étaient, le théorème de Thalès imposerait l’égalité.
Ici, CE / CB = 12 / 15 et CD / CA se calcule avec la longueur trouvée à la question précédente. À toi de faire le produit en croix : Bruno donne la réponse et la rédaction complète dans la vidéo.
Cette vidéo fait partie de la série Brevet coproduite par La Boîte à Bac et les éditions Hatier. Le sujet travaillé et d’autres annales corrigées se trouvent dans l’Annabrevet de Hatier.
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▶ Résoudre un problème de calcul littéralEn partenariat avec HatierQuestions fréquentes sur Thalès et Pythagore au brevet
Quelle différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?
Le théorème part d’un triangle rectangle et permet de calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs et permet de prouver qu’un triangle est rectangle. Au brevet, il faut nommer celui que tu utilises.
Quand utiliser le théorème de Thalès ?
Quand deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles : il permet alors de calculer des longueurs grâce à l’égalité des quotients. Sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Comment comparer deux quotients sans calculatrice ?
Avec le produit en croix : a / b = c / d équivaut à a × d = b × c (b et d non nuls). Si les deux produits sont différents, les quotients ne sont pas égaux.
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