Deux voiliers partent du même point pour rejoindre la même arrivée. Lequel a parcouru le plus de chemin ? Pour répondre, il faut de la trigonométrie et le théorème de Pythagore. Dans cette vidéo, Bruno Colas, professeur de mathématiques, résout ce problème de géométrie typique du brevet. Voici comment choisir le bon outil dans un triangle rectangle, et ce que la vidéo t’apporte en plus.
Ce qu’il faut retenir
- Dans un triangle rectangle, on connaît deux côtés et on cherche le troisième : théorème de Pythagore.
- On connaît un angle et un côté : trigonométrie. Sinus = côté opposé / hypoténuse, cosinus = côté adjacent / hypoténuse, tangente = côté opposé / côté adjacent.
- Calculatrice en mode degrés, valeurs exactes gardées le plus longtemps possible, arrondi à la précision demandée seulement à la fin.
À l’épreuve : Ce problème relève de la partie 2 de l’épreuve de mathématiques, « raisonnement et résolution de problèmes » (14 points sur 20, 1 h 40, calculatrice autorisée, réponses justifiées) : la calculatrice est indispensable pour les sinus et cosinus. Le détail de l’épreuve est dans notre guide du brevet 2027.
Le sujet : deux voiliers face au vent
Un voilier ne peut pas avancer directement face au vent : pour atteindre son arrivée, il doit tirer des bords, en zigzag. Dans ce problème de trigonométrie, deux voiliers partent du point C pour rejoindre le point A, chacun par un chemin différent, modélisé par un triangle rectangle.
- le voilier 1 suit le trajet C → B → A, dans le triangle ABC rectangle en B, avec CA = 5,6 km et BA = 4,8 km ;
- le voilier 2 suit le trajet C → D → A, dans le triangle ADC rectangle en D, avec CA = 5,6 km et un angle de 24° en C.
La question : comparer les distances parcourues par les deux voiliers, en kilomètres, arrondies au dixième. Bruno a choisi cet exercice parce qu’il réunit les deux grands outils du triangle rectangle au brevet : le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Tu les retrouveras souvent le jour de l’épreuve.
Voilier 1 : Pythagore pour le côté manquant
Pour le voilier 1, on cherche CB + BA. On connaît BA, mais pas CB. Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît deux côtés : c’est le cas du théorème de Pythagore. Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, ici [CA]. On écrit CA² = CB² + BA², puis on isole l’inconnue :
- CB² = CA² − BA² ;
- CB² = 5,6² − 4,8² = 31,36 − 23,04 = 8,32 ;
- CB = √8,32.
Garde la valeur exacte √8,32 dans ta calculatrice : si tu arrondis trop tôt, le résultat final peut changer. Il reste à ajouter BA et à arrondir au dixième. Bruno fait ce calcul dans la vidéo, avec l’affichage des opérations au fur et à mesure.
Voilier 2 : sinus et cosinus
Pour le voilier 2, on cherche CD + DA. Cette fois, dans le triangle ADC rectangle en D, on connaît l’hypoténuse [CA] et un angle, celui de 24° en C. Pythagore ne suffit pas : il faut la trigonométrie.
| Rapport | Définition | Ce qu’il donne ici |
|---|---|---|
| Sinus de l’angle en C | côté opposé / hypoténuse | AD / AC |
| Cosinus de l’angle en C | côté adjacent / hypoténuse | CD / AC |
| Tangente de l’angle en C | côté opposé / côté adjacent | AD / CD |
On connaît l’angle et l’hypoténuse : le sinus donne le côté opposé, AD = 5,6 × sin 24°, et le cosinus donne le côté adjacent, CD = 5,6 × cos 24°. Pour passer de la formule du quotient à celle-ci, on multiplie les deux membres par l’hypoténuse.
Avant de taper, vérifie que ta calculatrice est en mode degrés : c’est l’erreur la plus fréquente. Les valeurs arrondies de AD et CD, et leur somme, sont données dans la vidéo.
Comparer et rédiger la conclusion
Une fois les deux distances calculées et arrondies au dixième, la comparaison est immédiate. Mais au brevet, un résultat seul ne suffit pas : termine par une phrase de réponse qui répond exactement à la question posée, du type « Le voilier … a parcouru une plus grande distance que le voilier … ».
Les réflexes à garder
- Repère l’angle droit et nomme l’hypoténuse avant tout calcul.
- Deux côtés connus : Pythagore. Un angle et un côté : sinus, cosinus ou tangente.
- Cite le théorème ou la formule utilisés.
- Arrondis à la fin, avec l’unité.
Cette vidéo fait partie de la série Brevet coproduite par La Boîte à Bac et les éditions Hatier. Le sujet travaillé et d’autres annales corrigées se trouvent dans l’Annabrevet de Hatier.
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▶ Résoudre un problème d’aire et de volumeEn partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de vitesseEn partenariat avec HatierQuestions fréquentes sur la trigonométrie au brevet
Comment savoir s’il faut utiliser le sinus, le cosinus ou la tangente ?
Repère, par rapport à l’angle connu ou cherché, les deux côtés qui interviennent : opposé et hypoténuse, c’est le sinus ; adjacent et hypoténuse, le cosinus ; opposé et adjacent, la tangente. Le moyen mnémotechnique « SOH CAH TOA » résume ces trois rapports.
Comment calculer un angle avec la trigonométrie ?
On calcule d’abord le rapport (par exemple le cosinus), puis on utilise la touche arccos, aussi notée cos⁻¹, de la calculatrice. Même principe avec arcsin et arctan.
Faut-il arrondir les résultats intermédiaires ?
Il vaut mieux garder les valeurs exactes dans la calculatrice et n’arrondir qu’à la fin, à la précision demandée. Un arrondi trop précoce peut fausser le dernier chiffre du résultat.
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