Un composteur de jardin, un trapèze, un pavé droit : au brevet, un problème qui mêle aires et volumes peut impressionner, alors que tout est dans l’énoncé. Dans cette vidéo, Bruno Colas, professeur de mathématiques, corrige pas à pas le sujet « Le composteur », tiré de l’Annabrevet. Il mobilise le théorème de Pythagore, l’aire d’un trapèze et le volume d’un prisme droit. Voici la méthode et le début de la résolution ; la correction complète t’attend dans la vidéo.
Ce qu’il faut retenir
- Pour calculer le volume d’un solide composé, on le décompose en solides simples (ici un prisme droit et un pavé droit), on calcule chaque volume, puis on les additionne.
- Le théorème de Pythagore donne une longueur manquante dans un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Pour comparer avec une contenance en m³, on convertit : 1 m³ = 1 000 000 cm³, on décale donc la virgule de six rangs.
À l’épreuve : Ce type de problème relève de la partie 2 de l’épreuve de mathématiques, « raisonnement et résolution de problèmes » : 14 points sur 20, 1 h 40, calculatrice autorisée, réponses justifiées. Format complet de l’épreuve et calendrier dans notre guide du brevet 2027.
Le sujet : un composteur à décomposer
Le sujet « Le composteur » part d’une situation concrète : un modèle de composteur formé d’un pavé droit et d’un prisme droit dont la base est un trapèze. Le descriptif annonce une contenance d’environ 0,5 m³. Ta mission : vérifier cette affirmation.
Premier réflexe, que Bruno répète : ne pas paniquer. Même si le sujet te semble nouveau, toutes les informations nécessaires sont dans l’énoncé et sur la figure. Les formules d’aire et de volume utiles sont rappelées en bas du sujet : lis-les avant de te lancer.
L’exercice s’ouvre sur une question rapide de pourcentage sur la production annuelle de déchets : on applique le pourcentage à la valeur de départ donnée dans l’énoncé. Pour revoir cette méthode, lis notre article sur les pourcentages au brevet.
Le plan de résolution
| Question | Ce qu’on cherche | Outil |
|---|---|---|
| 2-a | la longueur CH | propriétés du rectangle, soustraction |
| 2-b | la longueur HD | théorème de Pythagore |
| 2-c | l’aire du trapèze ABCD | formule de l’aire d’un trapèze |
| 2-d | le volume du composteur | volume du prisme + volume du pavé, conversion en m³ |
Chaque question s’appuie sur la précédente : c’est un escalier. Conseil général pour le brevet : quand l’énoncé te donne un résultat à démontrer, tu peux t’en servir pour la suite, même si tu n’as pas réussi à le prouver.
Premières étapes : le rectangle, puis Pythagore
Question 2-a : trouver CH
Sur la figure, le quadrilatère DABH a trois angles droits : c’est donc un rectangle. Ses côtés opposés ont la même longueur, donc HB = DA = 39 cm. Comme les points C, H et B sont alignés, on obtient CH par soustraction : CH = CB − HB = 67 − 39 = 28 cm.
Regarde la rédaction : chaque égalité est justifiée par une propriété (rectangle, points alignés). Au brevet, les réponses de la partie 2 doivent être justifiées : c’est exactement ce que le correcteur attend.
Question 2-b : trouver HD avec le théorème de Pythagore
Le triangle DHC est rectangle en H. Son hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit, est [CD]. Le théorème de Pythagore s’écrit donc : CD² = CH² + HD².
- On remplace par les valeurs connues : 53² = 28² + HD².
- On calcule les carrés : 2 809 = 784 + HD².
- On isole HD² : HD² = 2 809 − 784 = 2 025.
- On prend la racine carrée : HD = √2 025 = 45 cm.
Garde bien ce résultat en tête : cette longueur de 45 cm est la hauteur du trapèze, et elle va resservir deux fois dans la suite. Dans la vidéo, Bruno repère chaque élément directement sur la figure en 3 dimensions, ce qui aide à ne pas se perdre entre les faces du solide.
La suite : aire du trapèze, volumes et conversion
Une fois CH et HD connus, tu as toutes les longueurs nécessaires. La méthode tient en quatre temps :
- Aire du trapèze : applique la formule rappelée dans l’énoncé, (petite base + grande base) × hauteur ÷ 2, avec la hauteur HD que tu viens de trouver. Une aire s’exprime en cm², pas en cm³.
- Volume du prisme droit : aire de la base × hauteur du prisme, ici la longueur de 70 cm lue sur la figure.
- Volume du pavé droit : longueur × largeur × hauteur. Sa hauteur ne se lit pas directement : c’est la hauteur totale du composteur (110 cm) moins la hauteur du prisme, trouvée à la question 2-b.
- Addition et conversion : le volume total est la somme des deux volumes, en cm³. Pour le comparer à 0,5 m³, décale la virgule de trois rangs pour passer aux dm³, puis encore de trois rangs pour passer aux m³.
C’est seulement après la conversion que tu peux conclure. Termine par une phrase qui répond clairement à la question : l’affirmation du descriptif est-elle vraie ou fausse ?
Dans la vidéo, Bruno déroule tous ces calculs, donne le volume exact du composteur et rédige la conclusion. Essaie d’abord seul, puis compare ta copie avec sa correction.
Les pièges à éviter
- Confondre les unités : cm pour les longueurs, cm² pour les aires, cm³ pour les volumes. Vérifie l’unité de chaque résultat avant de l’écrire.
- Oublier de réutiliser un résultat : la hauteur trouvée avec Pythagore sert à la fois pour l’aire du trapèze et pour la hauteur du pavé droit.
- Mal convertir : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. Décaler la virgule de trois rangs seulement est une erreur classique.
- Oublier de conclure : on te demande de vérifier une affirmation, ta dernière phrase doit trancher.
Pour t’entraîner, refais l’exercice en entier sans regarder la correction, puis regarde la vidéo pour vérifier tes calculs et ta rédaction. Tu peux ensuite passer à notre article sur le théorème de Thalès, autre outil de géométrie de 3e.
Cette vidéo fait partie de la série Brevet coproduite par La Boîte à Bac et les éditions Hatier. Le sujet travaillé et d’autres annales corrigées se trouvent dans l’Annabrevet de Hatier.
Pour aller plus loin : nos autres vidéos
La géométrie revient souvent dans la partie problèmes : entraîne-toi aussi avec le théorème de Thalès, la trigonométrie et les problèmes de vitesse.
▶ Résoudre un problème avec le théorème de Thalès
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▶ Résoudre un problème de trigonométrieEn partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de vitesseEn partenariat avec HatierQuestions fréquentes sur les aires et volumes au brevet
Faut-il connaître par cœur les formules d’aire et de volume ?
Les formules moins courantes, comme l’aire d’un trapèze ou le volume d’un prisme, peuvent être rappelées dans l’énoncé : c’est le cas dans le sujet « Le composteur ». Il faut quand même savoir les appliquer vite et connaître les plus classiques (rectangle, triangle, disque, pavé droit). Lis toujours les rappels en bas du sujet avant de commencer.
Comment convertir des cm³ en m³ ?
1 m³ = 1 000 000 cm³ : on divise par 1 000 000, ce qui revient à décaler la virgule de six rangs vers la gauche. Par exemple, 250 000 cm³ = 0,25 m³. Si tu préfères avancer étape par étape, passe par les dm³ : trois rangs, puis encore trois rangs.
Quand utiliser le théorème de Pythagore dans un problème de volume ?
Dès qu’il te manque une longueur et que tu repères un triangle rectangle dont tu connais deux côtés. Dans « Le composteur », il donne la hauteur du trapèze, indispensable pour l’aire de la base du prisme puis pour la hauteur du pavé. Écris toujours l’égalité en isolant l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit.
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