Un programme de calcul a l’air simple : quatre consignes, quelques opérations. Et pourtant, il suffit de mal lire une ligne pour tout rater. Dans cette vidéo, Bruno Colas, professeur de mathématiques, résout avec toi le sujet « Que de consignes ! » : tester le programme sur des nombres, démasquer une fausse astuce, puis passer au calcul littéral et à une équation. Voici la méthode, étape par étape, et ce que la vidéo t’apporte en plus.
Ce qu’il faut retenir
- Dans un programme de calcul, lis chaque consigne mot à mot : ici, on soustrait 7 au nombre de départ, pas au résultat précédent.
- Un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse ; un exemple qui marche ne prouve rien.
- Avec une lettre, on développe (double distributivité ou identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b²), puis on résout l’équation obtenue : x² = 16 a deux solutions.
À l’épreuve : Ce type de problème relève de la partie 2 de l’épreuve de mathématiques, « raisonnement et résolution de problèmes » (14 points sur 20, 1 h 40, calculatrice autorisée, réponses justifiées). Le calcul sur les nombres relatifs travaillé ici t’entraîne aussi pour la partie automatismes, sans calculatrice. Tout le déroulé de l’épreuve est dans notre guide du brevet 2027.
Un programme de calcul au brevet : lire avant de calculer
Un programme de calcul, c’est une suite de consignes à appliquer à un nombre de départ. Ce type d’exercice revient souvent au brevet de maths, car il fait travailler à la fois le calcul mental, les nombres relatifs et le calcul littéral. Bruno l’a choisi pour sa série de vidéos consacrées au brevet de maths, et il prévient d’emblée : l’exercice paraît facile, mais il teste surtout ta lecture de l’énoncé.
Dans le sujet « Que de consignes ! », le programme est le suivant :
- étape 1 : ajouter 7 au nombre de départ ;
- étape 2 : soustraire 7 au nombre de départ ;
- étape 3 : multiplier les résultats des étapes 1 et 2 ;
- étape 4 : ajouter 50 au résultat.
Le piège est à l’étape 2 : on repart du nombre choisi au départ, et non du résultat de l’étape 1. La première question te demande de vérifier qu’en partant de 2, on obtient 5. Pose chaque étape sur une ligne :
| Étape | Calcul avec 2 au départ |
|---|---|
| Étape 1 | 2 + 7 = 9 |
| Étape 2 | 2 − 7 = −5 |
| Étape 3 | 9 × (−5) = −45 |
| Étape 4 | −45 + 50 = 5 |
Termine toujours par une phrase réponse : « En choisissant 2 au départ, le programme donne bien 5. » Dans la vidéo, Bruno montre comment présenter ces étapes proprement sur ta copie.
Avec un nombre négatif : attention aux signes
La question suivante fait partir le programme de −10. La méthode ne change pas, mais les signes deviennent le vrai sujet. Les deux premières étapes donnent −10 + 7 = −3 et −10 − 7 = −17.
Pour l’étape 3, tu multiplies deux nombres négatifs : souviens-toi de la règle des signes (le produit de deux nombres négatifs est positif). Écris les nombres négatifs entre parenthèses, (−3) × (−17), pour ne pas te tromper. La calculatrice est autorisée dans cette partie de l’épreuve : sers-t’en pour vérifier.
Démasquer une fausse astuce avec un contre-exemple
Un élève affirme qu’il suffit de prendre le double du nombre de départ et d’ajouter 1, « puisque ça marche avec 2 ». Pour lui répondre, pas besoin de longue démonstration : il suffit de trouver un seul nombre pour lequel les deux méthodes donnent des résultats différents. C’est le principe du contre-exemple. Bruno te montre quel nombre choisir pour gagner du temps et comment rédiger la conclusion.
Passer au calcul littéral
La question 4 remplace le nombre de départ par une lettre, x. On applique exactement les mêmes étapes : l’étape 1 donne x + 7, l’étape 2 donne x − 7, et l’étape 3 le produit (x + 7)(x − 7).
Pour développer ce produit, deux méthodes :
- la double distributivité : on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit ;
- l’identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b², plus rapide : ici, (x + 7)(x − 7) = x² − 7² = x² − 49.
Il ne reste qu’à appliquer l’étape 4 pour retrouver l’expression annoncée par l’énoncé. Dans la vidéo, Bruno détaille le développement terme à terme, pour que tu voies pourquoi les termes en 7x s’annulent.
Résoudre l’équation : ne pas oublier la solution négative
Dernière question : quel nombre choisir au départ pour obtenir 17 ? Puisque le programme transforme x en x² + 1, on pose l’équation x² + 1 = 17, qui revient à x² − 16 = 0, ou encore x² = 16.
Deux méthodes possibles
- Factoriser avec l’identité a² − b² = (a + b)(a − b), puisque 16 = 4², puis utiliser la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
- Utiliser directement x² = 16 : pour un nombre a positif, l’équation x² = a a deux solutions, √a et −√a.
Attention à la formulation : la racine carrée d’un nombre est toujours positive. Ce n’est pas la racine qui est « positive ou négative », c’est l’équation qui a deux solutions, une positive et une négative. Oublier la solution négative, c’est perdre une partie des points de la question. Bruno résout l’équation par les deux méthodes dans la vidéo.
Les réflexes à garder le jour du brevet
- Relis chaque consigne : « au nombre de départ » ou « au résultat » ?
- Mets les nombres négatifs entre parenthèses dans les calculs.
- Pour contredire une affirmation, cherche un contre-exemple.
- Avec une lettre, pense aux identités remarquables.
- Conclus chaque question par une phrase réponse.
Cette vidéo fait partie de la série Brevet coproduite par La Boîte à Bac et les éditions Hatier. Le sujet travaillé et d’autres annales corrigées se trouvent dans l’Annabrevet de Hatier.
Pour aller plus loin : nos autres vidéos
Le calcul littéral sert partout au brevet. Continue avec les fonctions, l’arithmétique et les pourcentages.
▶ Résoudre un problème de fonctions
En partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de divisibilité et de nombres premiersEn partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de pourcentageEn partenariat avec HatierQuestions fréquentes sur le programme de calcul au brevet
Comment prouver qu’un programme de calcul donne toujours le même type de résultat ?
Il faut raisonner avec une lettre : on appelle x le nombre de départ et on applique les étapes en calcul littéral. Tester plusieurs nombres ne suffit pas, car un exemple ne prouve jamais une propriété générale.
Quand utiliser une identité remarquable ?
Dès que tu reconnais une forme (a + b)², (a − b)² ou (a + b)(a − b). Elle te fait gagner du temps pour développer, et elle permet aussi de factoriser, par exemple x² − 16 = (x + 4)(x − 4).
Combien de solutions a l’équation x² = a ?
Si a est strictement positif, deux solutions : √a et −√a. Si a = 0, une seule solution, 0. Si a est négatif, aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.
Nos produits
Pour réviser autrement, du brevet au lycée
Kaïros, le jeu de cartes historiqueDès 12 ans : une date est révélée, jouez l’événement le plus proche. De quoi retenir en s’amusant des dates qui ont marqué le monde.Découvrir Kaïros
L’application La Boîte à BacPour la suite : cours, fiches et quiz de la Seconde à la Terminale, pour arriver au lycée avec de bonnes méthodes.Découvrir l’applicationArticle rédigé par l’équipe La Boîte à Bac à partir du script de la vidéo (Bruno Colas, professeur de mathématiques) et de la définition officielle des épreuves du brevet (BO spécial n° 4 du 17 septembre 2026).
