162 nems, 108 samossas : combien de barquettes identiques un cuisinier peut-il préparer ? Ce problème d’arithmétique fait travailler la divisibilité, les nombres premiers et le PGCD, des outils classiques au brevet. Bruno Colas, professeur de mathématiques, le corrige dans cette vidéo. Voici la méthode, la décomposition en facteurs premiers pas à pas et la logique de la dernière question.
Ce qu’il faut retenir
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…). 1 n’est pas un nombre premier.
- Pour décomposer en facteurs premiers, on teste la division par 2, puis 3, puis 5, puis 7… et on divise tant que c’est possible.
- Les diviseurs communs de deux nombres se construisent avec leurs facteurs premiers communs ; le plus grand est le PGCD.
À l’épreuve : Ce type de problème relève de la partie 2 de l’épreuve de mathématiques, « raisonnement et résolution de problèmes » : 14 points sur 20, 1 h 40, calculatrice autorisée, réponses justifiées. Format complet et calendrier dans notre guide du brevet 2027.
Le sujet : des barquettes toutes identiques
Un cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas. Il veut composer des barquettes contenant toutes le même nombre de nems et le même nombre de samossas, en utilisant tous les nems et tous les samossas.
| Question | Ce qu’on cherche | Outil |
|---|---|---|
| 1 | la décomposition de 162 et de 108 en facteurs premiers | divisions successives, critères de divisibilité |
| 2 | les diviseurs communs à 162 et 108 supérieurs à 10 | facteurs premiers communs |
| 3 | le nombre de barquettes possible et leur contenu | diviseurs communs, PGCD |
Les deux premières questions sont des questions de cours : elles préparent la troisième, qui est le vrai problème. Bien les réussir, c’est avoir fait l’essentiel du travail.
Question 1 : décomposer en facteurs premiers
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers. La méthode : tester la division par 2, puis par 3, puis par 5, puis par 7, etc., et diviser tant que c’est possible, jusqu’à obtenir un quotient premier.
Les critères de divisibilité utiles
- Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.
- Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Il est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
- Il est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Décomposition de 162
162 est pair : 162 ÷ 2 = 81. 81 est impair, mais la somme de ses chiffres vaut 8 + 1 = 9, un multiple de 3 : 81 ÷ 3 = 27. Puis 27 ÷ 3 = 9, et 9 ÷ 3 = 3, qui est premier. On s’arrête.
Donc 162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2 × 34.
Décomposition de 108
Même méthode : 108 ÷ 2 = 54, puis 54 ÷ 2 = 27, puis 27 ÷ 3 = 9 et 9 ÷ 3 = 3.
Donc 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33.
Vérifie toujours ta décomposition en recalculant le produit : 2 × 81 = 162 et 4 × 27 = 108.
Questions 2 et 3 : diviseurs communs et PGCD
Trouver les diviseurs communs
Les facteurs premiers communs à 162 et 108 sont 2 × 3 × 3 × 3 : un facteur 2 (108 en a deux, 162 un seul) et trois facteurs 3 (162 en a quatre, 108 trois). Tout produit formé avec une partie de ces facteurs est un diviseur commun. Par exemple, 2 × 3 = 6 et 3 × 3 = 9 divisent bien 162 et 108, mais ils sont inférieurs à 10.
À toi de trouver ceux qui dépassent 10, en combinant davantage de facteurs. Le plus grand d’entre eux est le PGCD (plus grand commun diviseur) de 162 et 108. Bruno les liste tous dans la vidéo.
Résoudre le problème des barquettes
Toute la question 3 repose sur une idée : si les barquettes sont identiques et que tout est utilisé, le nombre de barquettes doit diviser à la fois 162 et 108. C’est donc un diviseur commun.
- Peut-il faire 36 barquettes ? 36 divise 108 (3 × 36 = 108), mais pas 162 : 162 ÷ 36 = 4,5. Il faudrait couper des nems en deux, ce que l’énoncé ne prévoit pas.
- Le nombre maximal de barquettes est le plus grand diviseur commun, donc le PGCD trouvé à la question 2.
- Le contenu d’une barquette s’obtient en divisant 162 et 108 par ce nombre de barquettes.
La vidéo donne le nombre maximal de barquettes et leur contenu exact. Fais le calcul avant de regarder la correction.
Les pièges à éviter
- Croire que 1 est premier : il n’a qu’un seul diviseur. Le plus petit nombre premier est 2, le seul qui soit pair.
- S’arrêter trop tôt : une décomposition est finie quand tous les facteurs sont premiers. 9 n’est pas premier (9 = 3 × 3).
- Oublier une condition de l’énoncé : ici, « supérieurs à 10 » pour les diviseurs, « tous utilisés » pour les barquettes.
- Confondre diviseur et multiple : on cherche un nombre qui divise 162 et 108, pas un nombre divisible par eux.
Pour continuer à manipuler les nombres, lis notre article sur le calcul littéral et les programmes de calcul.
Cette vidéo fait partie de la série Brevet coproduite par La Boîte à Bac et les éditions Hatier. Le sujet travaillé et d’autres annales corrigées se trouvent dans l’Annabrevet de Hatier.
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▶ Résoudre un problème de calcul littéral
En partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de pourcentageEn partenariat avec Hatier
▶ Résoudre un problème de probabilitésEn partenariat avec HatierQuestions fréquentes sur les nombres premiers au brevet
Comment savoir si un nombre est premier ?
Un nombre est premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Pour le vérifier, teste la division par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… Tu peux t’arrêter dès que le carré du nombre testé dépasse le nombre étudié : si aucune division ne tombe juste, il est premier.
À quoi sert le PGCD dans un problème ?
Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun. Il répond aux problèmes de partage en parts identiques sans reste, comme les barquettes de nems et samossas : il donne le nombre maximal de parts possible.
Comment trouver les diviseurs communs de deux nombres ?
Décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis repère les facteurs communs, avec leur plus petit exposant. Tous les produits formés avec ces facteurs sont des diviseurs communs, et le produit de tous ces facteurs communs est le PGCD.
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